Las matemáticas tras el doble cambio de carril

Viajando en autobús por una autovía de 3 carriles, uno se da cuenta de lo interesante que puede resultar calcular matemáticamente la velocidad necesaria para pasar del carril izquierdo al derecho, adelantando al autobús y meterse en una gasolinera en el último momento sin ser atropellado por el transporte público.

Si un vehículo A viaja en línea recta desea adelantar a un vehículo B que también lo hace, ha de desarrollar una velocidad superior, tal que VA > VB. Es obvio que hay que conducir más rápido para adelantar.
Si A desea ponerse a la altura de B, y digamos, desea enseñarle el dedo, VA = VB.

¿Pero, y para un adelantamiento con cambio doble de carril sin mirar explicado en el primer párrafo? ¿Cuál es la velocidad exacta necesaria para cruzarse por delante y a la vez enseñar el dedo de tal forma que la distancia entre el conductor de B y el dedo de A fluctúe en la menor medida posible? Suponemos que A y el dedo son inseparables, al igual que su necesidad de gasolina es infinita y su chulería le obliga a ir por el carril de la derecha a 100 por hora.

Bien, el planteamiento es sencillo. Si la distancia entre el carril izquierdo y derecho es 1, y entre el punto en que se halla A y la salida hacia la gasolinera es también 1, eso forma una diagonal con longitud igual a raíz de 2. Formamos un cuadrado.
¿A qué velocidad debería de ir el sujeto A para adelantar al sujeto B por esa diagonal, cruzar los dos carriles sin mirar y salir hacia la gasolinera? Fácil.
Si B lleva una velocidad de 100 km/h, por ejemplo, A debe de desarrollar una velocidad igual o superior a raíz de 2, o sea, más de 141 km/h, que no es raíz de 2 multiplicado por 100, es la VB multiplicado por 1'41, pues si fuese a 120 habría que desarrollar 169'7 km/h. Así, el conductor de B puede apreciar en todo su esplendor la jeta del conductor A, sin olvidarnos del dedo.

Esto me ha llevado a pensar, ¿cual sería la velocidad necesaria para adelantar en cualquier ángulo? El anterior problema nos decía la velocidad necesaria para atravesar la diagonal del cuadrado, que está a 45º de inclinación.

Digamos que X es el ángulo por el cual deseamos cruzar 2 carriles sin mirar, medido como la abertura entre la diagonal de adelantamiento y la línea recta formada por el carril de la izquierda, el carril más rápido. X sería igual a la longitud de la tangente de dicho ángulo. Conforme aumentamos el ángulo, requerimos menos velocidad para alcanzar nuestra meta: la gasolinera.
Digamos que X = 60º. La tangente de X vale 1'732. Formamos un triángulo rectángulo de cateto menor 1, cateto mayor 1'732 e hipotenusa desconocida. La hallamos por el teorema de Pitágoras, que nos da una hipotenusa de 2. Eso demuestra que necesitamos una velocidad de 200 km/h para enseñar el dedo al vehículo B y meternos a repostar.

Cuanto más cerrado el ángulo, más velocidad necesitamos, pues obtenemos X de la abertura entre la recta vertical formada por el carril izquierdo y la diagonal de adelantamiento. Por ejemplo, si tenemos X = 30º, la velocidad necesaria se reduce a 115'47 km/h, suponiendo que el bus va a 100 como dijimos en un principio.

¿Pero y si deseamos adelantar con un ángulo más amplio? Digamos que queremos que A pase a B por la diagonal de los 80º. Necesitaremos viajar a 575'87 km/h como mínimo para no tragarnos el morro del vehículo B.

¿Y a 89º? Pues a 5729'86 km/h. Si usted dispone de un vehículo así, no dude en invitarme a dar una vuelta.

¿Y a 90º? Bien, aquí la velocidad requerida es infinita.

Dado que ahora nos adentramos en el campo de la física, por Pitágoras podemos resolver el ángulo máximo requerido para un doble cambio de carril sin mirar y a la vez no contravenir las leyes de la física. Hablamos de hacer esa diagonal a la velocidad de la luz.

Si c = 300.000 km/s, supone que son 1.080.000.000 km/h. Si esa es la hipotenusa de nuestro triángulo rectángulo y nuestro cateto menor es 1 y el mayor (bueno, en los 45º se invierten los nombres, pero para el caso da igual) es desconocido, calculemos X.

1.080.000.000 al cuadrado = 1 al cuadrado + desconocido al cuadrado.
Desconocido = casi 1080.000.000, porque son dos rectas casi paralelas.
El ángulo, calculado dándole al botón de la tangente elevada a la -1 en la calculadora, nos da de 89'99999995, y porque no hay más dígitos en mi la pantalla que de fijo seguía.

Moraleja: no puedes adelantar a la velocidad que te de la gana, porque te topas con las leyes físicas, además del quitamiedos de la entrada a la gasolinera, la cuneta, el pueblo de más allá, el horizonte y finalmente el espacio exterior, para desaparecer casi a la velocidad de la luz (porque bueno, el quitamiedos algo de velocidad te quitará) hacia el infinito.